Bài tập về số phức xuất hiện rất nhiều trong bài thi hoặc đề thi của chương trình Đại số cấp 3. Vậy số phức là gì? Để hiểu rõ hơn về khái niệm và cách giải bài toán về số phức, mời bạn đọc cùng tham khảo bài viết dưới đây nhé!
Contents [hide]
Số phức là gì?
Số phức là số được biểu diễn dưới dạng z = a + bi. Trong đó:
- a, b: Số nguyên
- a: Là phần thực của số phức
- b: Là phần ảo của số phức
- i: Đơn vị ảo, được quy ước với giá trị i2 = – 1
Trong tiếng Anh, số phức được viết là complex number. Tập hợp số phức được ký hiệu là C với:
C = {a + bi | a,b R}
Ví dụ về số phức: 5 + 2i, 2 – 10i, 30 + 2i,…
Hai số phức bằng nhau là gì?
Hai số phức bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo bằng nhau.
Ví dụ, cho số phức z1 = a + bi và z2 = c + di. Khi đó, z1 = z2 nếu thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau:
- a = c
- b = d
XEM THÊM:
Các loại số phức thường gặp
Như vậy, bạn đã hiểu về khái niệm số phức là gì rồi phải không? Vậy có những loại số phức nào? Dưới đây là các loại phổ biến:
Số phức thuần ảo
Số phức thuần ảo là số phức có phần thực bằng 0, chỉ còn nguyên phần ảo. Số phức thuần ảo được ký hiệu là z = bi.
Ví dụ về số phức thuần ảo: 6i, 9i, -2i, 20i,…
Số phức thuần thực
Đây là số phức có phần ảo bằng 0. Khi đó, số phức thuần thực được ký hiệu là z = a (a R).
Số phức liên hợp
Cho số phức z = a + bi, khi đó số phức liên hợp của z là: 
Số phức lượng giác
Dạng đại số của số phức là z = a + bi
z = r (cos + isin ) là số phức lượng giác. Trong đó:
- rcos : Phần thực của số phức
- sin : Phần ảo của số phức
Kiến thức căn bản về số phức
Cách biểu diễn số phức là gì?
Số phức z = a + bi (a, b R) được biểu diễn bằng điểm M (a, b) trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy. Trong đó:
- Ox: Trục hoành, hay còn gọi là trục thực. Phần thực của số phức được biểu diễn qua trục Ox.
- Oy: Trục tung hay còn gọi là trục ảo. Các số phức thuần ảo được biểu diễn bởi điểm nằm trên trục Oy
Ngoài ra, số phức z và số phức liên hợp của z được biểu diễn đối xứng nhau qua trục thực Ox.
Acgumen của số phức là gì?
Giả sử, M(z) là điểm biểu diễn cho số phức z. Khi đó, góc tạo bởi tia Ox và tia OM(z) được gọi là acgumen của z, được ký hiệu là arg(z).
Tức là, khi z = a + bi thì Arg(z) = Arctan (b/a).
Modun của số phức là gì?
Trên tọa độ Oxy với điểm M(a, b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi thì độ dài vectơ OM được gọi là modun của số phức z, được ký hiệu là |z|.
Khi đó, modun của số phức z được xác định theo công thức sau:
Một số tính chất liên quan đến modun của số phức:
Các phép toán với số phức
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i (a, b, a’, b’ R). Ta có các phép tính sau:
Phép cộng với số phức
z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i
Ví dụ: 2 + 6i + 5 – 3i = (2 + 5) + (6 – 3)i = 7 + 3i
Tương tự như phép cộng thông thường, phép cộng với số phức cũng có các tính chất sau:
- Tính chất giao hoán: z + z’ = z’ + z
- Tính chất kết hợp: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
- Cộng với số 0: z + 0 = z
- Cộng với số đối: z + (-z) = 0 với -z là số đối của z, – z = – a – bi
Phép trừ hai số phức
z – z’ = z + (-z) = a + bi – (a’ + b’i) = a + bi – a’ – b’i = (a – a’) + (b – b’i)
Ví dụ:
2 + 6i – (5 – 3i) = 2 + 6i – 5 + 3i = (2 – 5) + (6 + 3)i = -3 + 9i
4 + 5i – (2 + 3i) = 4 + 5i – 2 – 3i = (4 – 2) + (5 – 3)i = 2 + 2i
Phép nhân với số phức
zz’ = (a + bi)(a’ + b’i) = aa’ + (ab’ + b’a)i + bb’i2
Mà i2 = – 1, thay vào biểu thức trên ta có:
zz’ = aa’ + (ab’ + b’a)i – bb’
Như vậy, zz’ = (aa’ – bb’) + (ab’ + b’a)i
Tương tự như vậy, ta có:
Ngoài ra, phép nhân số phức có một số tính chất sau:
- Tính chất giao hoán: zz’ = z’z
- Tính chất kết hợp: (z1z2)z3 = z1(z2z3)
- Nhân với số 1: z.1 = 1.z = z
- Tính chất phân phối giữa phép cộng và phép nhân: z (z1 + z2) = zz1 + zz2
Phép chia cho số phức khác 0
Khi đó, thương giữa z và z’ với z #0 được thực hiện như sau:
Một số bài tập về số phức
Dạng 1: Thực hiện các phép tính với số phức
Phương pháp: Đây là dạng cơ bản nhất nên bạn chỉ cần hiểu rõ số phức là gì và nắm rõ về các phép tính với số phức mà chúng tôi chia sẻ ở trên là được.
Dạng 2: Tìm căn bậc hai của số phức
– Phương pháp giải:
Ta có số phức z = a + bi. Để tìm căn bậc hai của số phức z, ta làm như sau:
Gọi y = c + di (c,d R) là căn bậc hai của số phức z trên.
=> z = y2 => a + bi = (c + di)2
=> a + bi = c2 + 2cdi – d2
=> (a – c2 + d2) + (b – 2cd)i = 0
Ta giải hệ phương trình:
sẽ tính được căn bậc hai của z.
– Ví dụ minh họa:
Dạng 3: Viết số phức dưới dạng hàm lượng giác
– Phương pháp giải:
Với số phức z = a + bi (a, b R), để viết dưới dạng hàm lượng giác, ta làm như sau:
- Tìm acgumen của z
- Tính modun của z
- Khi đó, ta sẽ có; z = r (cos + isin )
– Ví dụ minh họa:
Dạng 4: Nhân hoặc chia số phức dạng lượng giác
– Phương pháp làm:
Cho z = r.(cosφ + i.sinφ) và z’ = r’.(cosφ’ + i.sinφ’) với r ≥ 0; r’ ≤ 0
Ta có:
z.z’ = r.r'[cos(φ + φ’) + i.sin(φ + φ’)]
z/z’ = (r/r’).[cos(φ’ – φ) + i.sin(φ’ – φ)] với (r > 0)
Dạng 5: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
Dạng 6: Tìm giá trị max hoặc min số phức
– Phương pháp giải:
Để làm dạng bài tập này, chúng ta cần ghi nhớ nội dung kiến thức sau:
Trên đây là bài viết giải đáp số phức là gì và một số kiến thức liên quan. Hy vọng sẽ giúp ích cho bạn đọc trong quá trình học tập và ôn luyện.
